校草制霸录 三十四、小组长

在某位低阶科研狗带着有所学校以颜值分班的惊奇感离开自习室后，江水源继续他刷书之旅。至于景鹏副主任的话，他觉得最多只能听一半，也就是各种教材要相互比对着看，而且关键看它们术语是怎么定义的、定理是如何表述的，并琢磨每本书背后的理路，从中找出共性与特性。

——当然，这种学习方式也就江水源能用，其他人要是敢这么刷，脑袋里早就成一堆浆糊了！

至于景鹏说“《高等代数》不会太难”的那一半，就好像大人对小孩子说的“你的压岁钱我帮你收着，以后给你”，听听就行了，谁信谁傻。

接下来的一周，江水源过得非常平静，无非就是看书刷题。期间只收到了乔知之老先生的一封来信，不说别的，只看老人家那笔瘦劲工整的小楷字迹，就让江水源汗颜不已，暗自决定等有空了一定好好练字。

乔老爷子在信中表示，他回去之后想了又想，觉得小江同学能够熟练掌握《十三经》《二十四史》等大部头实在是巨大优势，跟同事们商量再三，拟定了6大方向、13个小题目，希望小江同学能够多思考、多动笔，有什么心得体会可以写下来直接寄给他看看，文字不拘长短，三两千字不嫌少，十万八万不嫌多。

6大方向江水源大致看了看，从先秦诸子治国思想、两汉国家祭祀制度，到魏晋南北朝儒佛道思想互动、唐宋社会秩序变革，再到宋明理学发展、清代学术思想演变，几乎涵盖了历史上的所有主要朝代，充分体现了经史融合的特点。关键还在于题目够大，别说给大学生练笔，就是给博士生做学位论文也足够了！

至于13个小题目，内容倒是相对具体点，至少让人看了知道大致该怎么着手。可每个题目后面罗列一二十种参考书目又是怎么回事？不管了、不管了，还是备考《高等代数》要紧！

矩阵、行列式、线性空间、多项式环、张量积，我来了！

转眼一个星期过去，江水源面色沉静地迎来了入学的第二场考查，其实心里早已慌得一批：出题的大佬一定要高抬贵手，就算考得题目深一点、知识点杂一点、计算量大一点，我都认了，千万别再玩那些虚头巴脑的技巧了，真的会死人的！

这次送题目的还是发量稀疏的仇主任和那位低阶科研狗，沈处长却没来，顶替他的是景鹏副主任。

仇万平晃着更加明亮的脑袋宣布道：“此次考查内容为《高等代数》（Ⅰ）（Ⅱ），共计20道题，答对12题为合格，答对17道题以上为优秀。时间为一天，即明天早上8点半之前交卷。考查形式为开卷。有什么问题么？”

《高等代数》要学大一上、下两学期，也就是所谓的“高代Ⅰ、Ⅱ”，一般10个学分。考查有20道题，算下来还是2道题1个学分，跟上次一样，看起来还挺公平的。不过听到时间是一天，江水源手抖了一下：我去，看来题目简单不了，没准儿又得要熬夜！

看江水源没什么异议，仇万平示意低阶科研狗发试卷纸。

江水源拿到题目，立即摒除所有杂念，以争分夺秒的姿态开始答题。第一题是求矩阵的特征值和特征向量，属于高等代数里的基本操作，他拿起笔三下五除二，不出五分钟就轻松算出了答案。算完之后他才发觉有些不对：咦，这道题目怎么可以这么简单？怎么可能这么简单？

难道我踩了雷？

吓得他赶紧回过头，从头到尾认真检查了一遍，结果没发现任何问题。于是他抬起头，一脸呆萌地看着仇万平：怎么回事？究竟是你良心发现，还是你拿错了试卷，为什么今天的试卷这么简单？老实交代，是不是有什么阴谋？

仇万平板着脸：“好好做题，不要东张西望的！”

“不是说开卷吗？”

“呃……哼！”仇万平被噎得够呛，恼怒地瞪了江水源和景鹏一眼，然后拂袖而去。

瞪我干什么？难道更年期的老人家都这么难搞？江水源耸耸肩，低下头继续做第二题。第二题是求某个齐次线性方程组的规范正交基，也属于常规操作。等花了五分钟做出来之后，他被彻底惊到了：为什么？究竟是为什么？难道是我的真诚感动了上天，让我的梦想变成了现实？

感谢天，感谢地，感谢命运让我们相遇！

不对、不对，“即使我们工作取得了极其伟大的成绩，也没有任何值得骄傲自大的理由。虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理”。江水源把图书管理员的箴言默念三遍，摆正心态，继续往下做题。

不到十点，江水源已经如同砍瓜切菜一般，把前面十二道题目全部解决，顺利抵达及格线。他甩甩手腕，决定一鼓作气，在午饭前结束所有战斗，用学三食堂的火腿炒饭来欢庆高代的10学分顺利到手。然后他就遇到了第13题。

设A、B是n阶实对称阵且AB BA=0。证明：若A是半正定矩阵，则存在正交矩阵P，使得P'AP=diag{λ1，…，λr，0，…，0}，P'BP=diag{0，…，0，μr 1，，μπ）。

题目看上去有些难度，关键后面还缀了个尾巴：至少用2种以上方法证明。由此看来，出题者不是洗心革面，放下屠刀吃斋念佛了，而是思路发生了点小变化。前12题是基础题，保证只要基本功扎实就能顺利过关；后面8题则是提高题，难度迅速抬升一个数量级，似乎刻意是要对答题者的能力做出筛选分级。

既然如此，那就来吧！

江水源心中略作盘算。虽然反交换的矩阵不一定有公共的特征向量，但是A的半正定性使得只需要把问题限制在零特征值的特征子空间上讨论就行了，此时A、B的反交换性就变成了交换性。所以第一种方法就是利用不变子空间理论，将问题转化成几何的语言，就可以很容易证明结论。

刚刚写完，他又想到了另外一种方法，利用实对称阵的正交相似标准形理论，假设A是正交相似标准形来做。嗯，so_easy!

进度1320!

江水源刚要翻到下一题，突然想到一种更巧妙的方法，即利用A^2、B可以同时正交对角化，再用到半正定矩阵算术平方根的唯一性来证明，这种方法不仅更自然，也更简单。

景鹏像是闲得无聊，整个上午都呆在自习室里，优哉游哉地翻看着江水源放在书架上的各种书籍。等到江水源做完第13题，马上伸手拿过答题纸认真看了起来。江水源吐槽道：“景老师，不是说好开卷么？怎么感觉像是以开卷之名，行闭卷之实呀？”

“我就是随便看看，碍着你翻书找资料了吗？”景鹏好整以暇地调整了个坐姿。

“倒不碍着我翻书找资料，可是影响我考试心情啊！”

“都考试了，还能有什么心情？赶紧做题吧！”景鹏安静了不到十秒钟，忍不住惊讶出声：“欸，这个解法好精巧，我都没想到过！”

江水源一听就知道他说的是哪里：“很巧妙吧？我也是突然来了灵感才想到的。”

景鹏赞许地点点头：“不错、不错。不过能想到这个方法，只能算是有点聪明；能把整张试卷按时做完，那才是真正把高等代数学好了。”

什么意思？看来后面的题目简单不了啊！

事实证明，景鹏不是虚言恫吓。江水源越往后做越觉得吃力，第15题刚开了个头，突然有只手伸到自己面前：“饭卡！”

“嗯？”江水源顺着手看过去，原来是那位相貌普通的低阶科研狗，景鹏不知道什么时候已经走了。

“午饭吃什么？”

“哦，已经是中午了？麻烦来一份石锅拌饭，一盒牛奶，谢谢。”

“好。”低阶科研狗突然脸上带着蜜汁微笑，神秘兮兮地问道，“在你们那个班，是不是班委什么的也是按颜值来排的？比如说，长得最帅、最漂亮的当班长，排第二的当学委啥的？”

“是啊，你怎么知道？当时我还是小组长呢！”

吃完某位八卦人士热心送来的午饭，江水源把战线继续缓慢往前推进。如果说上次数分考试非常考验人的耐心和脑筋急转弯的能力，那么这次高代考试显然更注重人的思维能力和对知识的创新运用。换个角度说，上次数分考试像知识竞赛，而这次高代考试像写小论文。

到了晚上九点多钟，终于顺利推进道最后一道压轴题，证明三个矩阵秩不等式中等号成立的充分必要条件。

众所周知，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要数值参数。在矩阵运算前后，矩阵的秩会具有什么样的关系，教材上一般都给出了三个重要的矩阵秩不等式，分别是：

rank（A B）≤rankA rankB；

rank（AB）≤min{rankA，rankB}；

rank（AB）≥rankA rankB-n，其中n为矩阵A的列数。

在江水源见过的线性代数教材中，或是从初等变换、或是从向量组的秩的角度给出上述三个不等式的证明，但都没说清不等式在什么情况下等式成立。那么该如何证明上述三个矩阵秩不等式中等号成立的充要条件呢？